Ensayo JClic

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Taller Funciones

Por favor desacargar el documento, estar pendiente de las indicaciones y explicaciones que se darán en clase y desarrollar los trabajos propuestos.
Como el trabajo tiene un fuerte componente para ser desarrollado en casa, los padres de familia participarán en la calificación del mismo.

 

FUNCIONES

El concepto de función matemática o simplemente función, es sin duda, el más importante y utilizado en Matemáticas y en las demás ramas de la Ciencia. No fue fácil llegar a él y muchas mentes muy brillantes han dedicado enormes esfuerzos durante siglos para que tuviera una definición consistente y precisa.

Desde los tiempos de Galileo, que fue uno de los primeros en usarlo (aunque no en la forma que nosotros lo conocemos actualmente), pasando por el gran Newton y Leibniz, que fue el primero que en 1673 uso la palabra "función" para referirse a la relación de dependencia de dos variables o cantidades, Euler, que le dio su formulación moderna y = f(x), Cauchy, Dirichlet o Gauss, las mejores mentes de la Historia de la Humanidad le dedicaron su atención y sus desvelos[i].

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X, usualmente llamado dominio y otro conjunto de elementos Y, llamado codominio, de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio, los cuales forman el recorrido o rango.

Analicemos la siguiente situación: se ingresan los números de la izquierda y la salida está representada por los números de la derecha. ¿Cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda mostrados en la tabla?:

ENTRADA	SALIDA
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
X	X2

                         

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

Donde por ejemplo, f(2) significa aplicar la regla f a 2. Al hacerlo resulta 2² = 4, aplicar la regla al número cuatro f(4) = 4² = 16, etc.  

Miremos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: El peso de los estudiantes:

Correspondencia entre los estudiantes de uno de los grupos de noveno y su peso expresado en kilos

Conjunto X	Conjunto Y
John	78
Daniel	78
Andrés	87
Wilder	52
David	63
Héctor	55

Cada estudiante (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que un mismo estudiante no puede tener dos pesos distintos, pero dos estudiantes si pueden tener igual peso: en nuestro ejemplo John y Daniel pesan 78 kilos.

Ejemplo 2: El triple de un número menos dos:

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "Triple del número menos dos”:

                                              x → 3x - 2     o bien    f(x) = 3x - 2

Conjunto X	Conjunto Y
0	-2
1	1
2	4
3	7
4	10

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar una definición más formal:

Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).

Dominio y rango de una función

El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir,  son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x² + 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
En cambio, la función       tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −2< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –3, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.

En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –5, ya que  x + 5 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.

Para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:

·         Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

·         Si la función es un polinomio; una  función  de  la  forma   f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +...+ a_nxⁿ (donde a₀, a₁, a₂,..., a_n son constantes y n un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.

·         Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

·         El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

Ejemplo

Identificar dominio y rango de la función    

Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales  x – 4 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 4.

El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.

Ejemplo 3: Determinar Dominio y Rango de   f(x) = X + 3    Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales.

Ejercicio 1: Determinar el Dominio y el rango de las siguiente funciones:

	Dominio:	Rango:
	Dominio:	Rango:
	Dominio:	Rango:

Determine la regla para cada uno de los siguientes casos;

ENTRADA	SALIDA
0	-2
1	-1
2	2
3	7
4	14
5	23
6	34
7	47
8	62
9	79
10	98
X

 

 

ENTRADA	SALIDA		ENTRADA	SALIDA
0	0		0	1,5
1	0,5		1	2
2	2		2	2,5
3	4,5		3	3
4	8		4	3,5
5	12,5		5	4
6	18		6	4,5
7	24,5		7	5
8	32		8	5,5
9	40,5		9	6
10	50		10	6,5
X			X

Ingrese a http://www.thatquiz.org/es/  de la pantalla de inicio seleccione “Algebra” y una vez allí de clic en “Formulas”

Haga clic sobre ± para cambiar +/– y clic sobre el término (2x, 3x, etc.) para llenar los cuadros. Solo los términos disponibles son posibles.

Los números y las teclas + – x del teclado se pueden usar para entrar datos.

Una función real, en general, puede ser representada de distintas maneras:

• Mediante un conjunto de pares ordenados, o tabla de valores.

• Mediante una expresión verbal, donde se describe una regla con una descripción en palabras.

• Mediante una expresión algebraica, con una fórmula explícita.

• Mediante una gráfica, representada en un sistema de coordenadas cartesianas.

Para estudiar las diferentes representaciones de una función, ingrese a http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/concepto_funcion/index.html y realice los ejercicios propuestos modificando los applets

Para reconocer los conceptos básicos relacionados con función ingrese a http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/El_lenguaje_de_las_funciones/index.htm

Ingrese a http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/funciones_test/inicio.htm, realice algunos ejercicios para reconocer las gráficas de las funciones presentadas.

Para identificar los diferentes tipos de funciones ingrese a http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/graficar_funciones/inicio.htm , modifique los parámetros correspondientes  a las variables y observe como cambia la gráfica. Anote qué cambia con cada uno de los parámetros.

Para graficar funciones http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/escalaxy_distinta/index.htm

Una vez realizados todos los ejercicios propuestos ingrese a http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/funciones_estudio_golbal_eda05/evaluacion.htm efectúe la evaluación e informe su puntaje enviando una captura de pantalla al correo lualsaco@gmail.com

Cualquier duda que se presente durante el desarrollo de la guía estaré pronto a resolverla bien sea en el colegio o empleando el correo.

Coevaluación: como el trabajo implica un esfuerzo extra en casa, los padres de familia tienen la oportunidad de acompañar a sus hijos, por tal motivo el 30% de la calificación asociada a la evaluación correspondiente será la asignada por cada padre (o madre, o quien acompañe)

Calificación: ___________    Firmas:_____________________________________________________

Observaciones: ______________________________________________________________________

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[i] http://www.buenastareas.com/ensayos/Funciones/3291005.html